2 00 3 Asymptotic Results for Pressureless Magneto – Hydrodynamics

We are interested in the life span and the asymptotic behaviour of the solutions to a system governing the motion of a pressureless gas, submitted to a strong, inhomogeneous magnetic field εB(x), of variable amplitude but fixed direction — this is a first step in the direction of the study of rotating Euler equations. This leads to the study of a multi–dimensional Burgers type system on the velocity field uε, penalized by a rotating term ε −1uε ∧B(x). We prove that the unique, smooth solution of this Burgers system exists on a uniform time interval [0, T ]. We also prove that the phase of oscillation of uε is an order one perturbation of the phase obtained in the case of a pure rotation (with no nonlinear transport term), εB(x)t. Finally going back to the pressureless gas system, we obtain the asymptotics of the density as ε goes to zero. Résultats asymptotiques pour la magnéto-hydrodynamique sans pression Résumé. On s’intéresse au temps d’existence et au comportement asymptotique des solutions d’un système modélisant le mouvement d’un gaz sans pression, soumis à un fort champ magnétique εB(x), d’intensité variable mais de direction fixe — cela étant un premier pas dans la compréhension des équations d’Euler en rotation rapide. Cela conduit à l’étude d’un système de type Burgers multi– dimensionnel sur le champ de vitesse uε, pénalisé par un terme de rotation ε −1uε∧B(x). On démontre que la solution unique régulière de ce système de Burgers existe sur un intervalle de temps uniforme [0, T ]. On montre aussi que la phase d’oscillation de uε est une perturbation au premier ordre de la phase obtenue dans le cas d’une rotation pure (sans terme de transport non linéaire), εB(x)t. Enfin en revenant au système des gaz sans pression, on obtient le comportement asymptotique de la densité quand ε tend vers zéro.